erste Version: 1/2017
letzte vollständige Überarbeitung: 3-5/2019
letzte Bearbeitung: 10/2019

VB201.

Musik, Physik und Evolution

Inhalt

VB201.1 Kersti: Fächerübergreifendes Lernen und seine Bedeutung
VB201.2 Kersti: Resonanzfrequenzen und Obertöne
VB201.2.1 Kersti: Die Schwingung der Guitarrensaite - eine transversale Schwingung (Illustrierte Version)
VB201.2.1.1 Kersti: Die Schwingung der Guitarrensaite - eine transversale Schwingung
VB201.2.1.2 Kersti: Flageolettöne und gegriffene Töne auf der Guitarre
VB201.2.1.3 Kersti: Obertonreihen und Schönheitsempfinden
VB201.2.1.4 Kersti: Tonleitern - wie bringt man die Obertöne in eine Ordnung, mit der man Musik machen kann?
VB201.2.1.5 Kersti: Schwebungen: Gestimmt wird nicht beliebig genau
VB201.2.2 Kersti: Blasinstrumente - eine longitudinale Schwingungen
VB201.3 Kersti: Flageolettöne und gegriffene Töne auf der Guitarre
VB201. Kersti: Text
VB201. Kersti: Quellen

2.1 Schwingungen von Saiten

2.1.1 Die Schwingung der Guitarrensaite - eine transversale Schwingung

Kinder mit Springseil5.
Wenn man ein Seil - idealerweise ein Gummiseil - in einem bestimmten Tempo schwingt, gibt es in der Mitte einen Schwingungsbauch, wo das Seil sehr stark hin und herschwingt und am Rand einen Schwingungsknoten, wo es fast in Ruhe ist, also so.

Erzeugt man einen einzelnen Schwingungsimpuls, wandert der über das Seil, wird am festgehaltenen Ende reflektiert und kommt dann zurück. Dabei hat sich der Ausschlag ins Gegenteil verkehrt.
Reflexion einer Welle bei einem Seil mit zwei festgehaltenen Enden 9.
Bei dieser Schwingung handelt es sich um eine transversale Schwingung, die Ausbreitungsrichtung ist längs der Saite, also von links nach rechts und zurück, die Auslenkung findet aber quer dazu - also nach oben und unten statt.

Wenn man eine regelmäßige Schwingung erzeugt (dunkellblau), die irgendwo reflexiert wird (hellblau) entstehen zwei gegenläufige Wellen, die sich überlagern (rot). Die rote Welle ist resultierende Welle, die man nachher sieht, während die beiden blauen Wellen so nicht sichtbar sind, da sie sich ja gegenseitig überlagern. Wenn die Ausbreitungsgeschwingigkeit einer Welle im richtigen Verhältnis zu Frequenz und der Länge des Seils steht, entsteht eine stehende Welle, die ihre Schwingsungsbäuche immer an derselben Stelle hat.
Stehende Welle durch Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen 10.
Die Häufigkeit der Schwankungen werden in Herz (Hz) angegeben, dem Kehrwert der Sekunde (s), also 1Hz = 1/s . Damit eine stehende Welle entstehen kann, muß die Ausbreitungsgeschwindigkeit (c), mit der eine Auslenkung das Seil entlanglaufen würde genau so sein, daß sich die reflektierte Welle mit der einlaufenden Welle so überlagert, daß sie sich regelmäßig gegenseitig verstärken. Die Frequenzen, in denen das bei einer bestimmten Saite der Fall ist, nennt man Resonanzfrequenzen. Die tiefste Resonanzfrequenz oder Grundfrequenz einer Saite ist ƒ = c / 2L , das heißt wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle (c) ein Meter pro Sekunde wäre, müßte die Saite einen halben Meter lang sein um eine Grundfrequenz von einem Herz zu haben.

  1m/s
------------  =  1Hz
 2 * 0,5m

Damit eine Saite dieser Länge den Kammerton A (440Hz) als Grundfrequenz oder Grundton hätte, müßte die Ausbreitungsgeschwindigkeit bei 440m/s liegen.
  440m/s
-------------  =  440Hz
 2 * 0,5m

Die Flimmerverschmelzungsfrequenz des Auges, die angibt, ab welcher Bildwechselfrequenz wir einen Film auf getrennten Bildern nicht mehr getrennte Bilder sondern als durchgehende Bewegung wahrnehmen liegt zwischen 22 Hz und 90 Hz. Die Schwingungen der Saite sind daher normalerweise so schnell, daß sie vor unseren Augen verschwimmen, wenn wir sie ansehen.

Seil oder Saite: Schwingung mit einem Schwingungsbauch

In der Musik nennt sich das der Grundton der Saite. 6.

 
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2.1.2 Flageolettöne und gegriffene Töne auf der Guitarre

Jeder Körper hat mehrere Resonanzfrequenzen, in denen er zum Schwingen angeregt werden kann. Dabei bilden sich Schwingungsbäuche, an denen der Körper schwingt und Schwingungsknoten, wo er in Ruhe ist. Wenn er als ganzes schwingt, ist der Ton tiefer und die Schwingung langsamer, als wenn er in der Mitte einen Schwingungsknoten hat und beide Seiten getrennt schwingen.

Schwingt man das Seil doppelt so schnell wie der Grundschwingung entspricht, erzeugt also die doppelte Frequenz, entsteht in der Mitte ein dritter Schwingungsknoten, der das Seil in zwei Schwingungsbäuche aufteilt, also so.
Seil oder Saite: Schwingung mit zwei Schwingungsbäuchen.

In der Musik ist das der erste Oberton einer Saite und die doppelte Frequenz (Geschwindigkeit) der Schwingung klingt eine Oktave höher. 7.

Wie ein solches Seil hat eine Guitarrenseite zwei festgehaltene Enden oder Schwingungsknoten, wo sie auf dem Steg aufliegt und ist dazwischen beweglich. Sie schwingt nur viel schneller.
Weitere Resonanzschwingungen ergeben weitere Obertöne 8.
Es gibt einen Trick, um die Obertöne einer Saite einzeln hörbar zu machen. Wenn man bei der Hälfte (Halsansatz) einem Drittel (7. Bund) oder einem Viertel (5.Bund) der Gesamtlänge der Saite locker einen Finger auf die Seite legt, kann man Flageolettöne erzeugen. Flageolettöne sind Töne die als Grundton einen Oberton der Saite und als Obertöne alle Obertöne der Seite haben, die ein durch dessen zahl der Schwingungsbögen (2, 3 bzw. 4) teilbare Zahl an Schwingungsbäuchen haben oder anders beschrieben ein vielfaches der Frequenz des jeweiligen Flageoletttons haben.

Erzeugung der Flageolettöne auf einer Guitarre:
  1. Grundton der Guitarrensaite A - 110 Herz
  2. Im 12. Bund gegriffen erzeugt die Saite einen Ton der doppelten Frequenz (220 Hz), da hier die Saite genau halbiert wird. Es schwingt nur die halbe Saite.
  3. Wird die Saite über dem Metallsteg des 12. Bundes leicht berührt, erzeugt die ebenfalls einen Ton von 220 Herz, da durch die Berührung ein Schwingungsknoten in der Mitte der Saite erzeugt.
  4. Wenn man die Saite im 7. Bund greift entsteht der Ton E mit 165 Herz, da nuun 2/3 der Saite frei schwingen können. (110Hz * 3/2 = 165Hz)
  5. Wird die Saite über dem Metallsteg des 7. Bundes leicht berührt, erzeugt dies einen Ton von 330 Herz, da durch die Berührung ein Schwingungsknoten an dieser Stelle erzeugt wird. Damit sind nur Schwingungen möglich, die bei einem Drittel der Saite einen Knoten haben. Der Ton ist eine Oktave höher als der in diesem Bund gegriffene Ton, da der freie Teil der Saite durch einen weiteren Schwingungsknoten geteilt wird.
  6. Greift man im 5. entsteht der Ton D von 146,7 Herz, da die Saite hier um 1/4 verkürzt wird (110Hz * 4/3 = 146,7Hz)
  7. Wird die Saite über dem Metallsteg des 5. Bundes leicht berührt, erzeugt dies einen Ton von 440 Herz, da durch die Berührung ein Schwingungsknoten an dieser Stelle erzeugt wird. Damit sind nur Schwingungen möglich, die bei einem Viertel der Saite einen Knoten haben. Der Ton ist zwei Oktave höher als der Grundton der Saite.
  8. Kurz vor dem vierten Bund liegt der Punkt, an dem man die Saite fünfteln kann. Es entsteht hier mit 550 Herz in etwa ein Cis.
Bei den Formeln im Bild handelt es sich nicht um mathematische Formeln sondern um eine verkürzte Notation dieser Beschreibung. 11.

 
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2.1.3 Obertonreihen und Schönheitsempfinden

Interessant ist nun, daß die ersten Obertöne einer Saite für unseren menschlichen Geschmack sehr gut zueinander passen. Der Abstand zwischen Grundton und erstem Oberton wird in der Musik Oktave genannt. Der Abstand zwischen ersten und zweiten Oberton ist die Quinte. Der Abstand zwischen zweiten und dritten Oberton ist die Quarte. Der Abstand zwischen drittem und vierten Oberton ist die große Terz, der zwischen dem fünften und sechsten die kleine Terz. Alle Akkorde, die in der Musik als gut klingend bekannt sind, tauchen als einer der ersten 5 Intervalle der Obertonreihe auf.

Den Zusammenklang zweier Töne empfinden wir als harmonisch oder schön, wenn sie als aufeinanderfolgende Töne in derselben Obertonreihe vorkommen. Das heißt unser Schönheitsempfinden in der Musik basiert auf der Obertonreihe. Wir empfinden sie als schön, weil sie zur selben Geräuschquelle gehören. Die Fähigkeit sie als zusammengehörig zu erkennen, hilft uns, verschiedene Geräuschquellen nach ihrer Herkunft zu trennen und zu unterscheiden.

2.1.4 Tonleitern - wie bringt man die Obertöne in eine Ordnung, mit der man Musik machen kann?

Nachdem Pytagoras herausgefunden hatte, daß unser musikalisches Schönheitsempfinden auf der Obertonreihe basiert, entwickelte er eine auf Brüchen basierende Tonleiter. Sie hatte jedoch den Nachteil, daß einige Intervalle der Musik, die hätten harmonisch klingen müssen, so ungenau getroffen wurden, daß die schief klangen. Die später entwickelte reine Stimmung behebt diesen Fehler, dafür klingt die Quinte nicht mehr rein.

Heute benutzt man die temperierte oder gleichschwebende Stimmung, bei der eine Oktave in zwölf Halbtonschritte aufgeteilt ist, deren Frequenz immer in demselben Verhältnis zunimmt. Auch hier gibt es Abweichungen zu den reinen Intervallen, sie sind jedoch deutlich geringer als bei den älteren Tonleitern. Da eine Oktave eine Verdopplung der Frequenz bedeutet, und der Kammerton A hat die Frequenz 440 Herz. Daraus kann man folgende Tabelle errechnen:
Grundtonccisddise ffisggisa aishc'
Cii1617181921 2223252627,5 293133
Ci3335373941 4446495255 596265
C6569737882 879298104110 117123131
c131139147156165 175185196208220 233247262
c'262277295311330 349370392415440 466494523
c''523554587622659 698740784831880 9329881046
c'''10461109117512441319 13971479156816611760 186519762092
c''''20922218235024882538 27942958313633223520 373039524186

 
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2.1.5 Schwebungen: Gestimmt wird nicht beliebig genau

Wenn zwei mit der Guitarre gleichzeitig angeschlagene Töne geringfügig voneinander abweichen, kann man hören, daß der Ton ein wenig "eiert". Es handelt sich dabei um Lautstärkeschwankungen, die man als Schwebung bezeichnet.


Dateiquelle: 24.

Beispiel für eine Schwebung.

Diese Schwebung entsteht dadurch, daß die beiden gleichzeitig hörbaren Töne sich wie unten gezeigt überlagern. Da Töne Druckschwankungen sind, kann an einer Stelle im Raum immer nur ein Druck herrschen. Da die beiden Töne unterschiedlich schnell schwingen, überlagern sich manchmal zwei Bäuche in denen der Druck höher als im Mittel ist miteinander. Dann ist der Ton laut. Etwas später haben sich die Schwingungen so gegeneinander verschoben, daß sich hoher Druck mit niedrigem überlagert. Dann ist der Ton leise.

Bildquelle: 23.

Zwei Wellen - rot und grün - überlagern sich und addieren sich zu der blauen Welle, die je nachdem ob die rote und grüne Welle gerade übereinander liegen oder gegeneinander verschoben sind unterschiedlich groß ist.

Man kann Schwebungen benutzen, um eine Guitarre zu stimmen. Je schneller die Lautstärke schwankt, desto stärker unterscheiden sich die beiden Töne voneinander. Wenn sie fast gleich hoch sind, hört diese Lautstärkerschwankung auf. Eine solche Schwebung wird aber nicht beliebig langsam, sondern hört ab einem bestimmten Punkt von ungefähr einer Schwingung pro Sekunde (~1 Hz) einfach auf.

Eine Saite die schwingt, nimmt den Steg ein wenig mit, so daß sie tatsächlich etwas tiefer klingt, wie eine etwas längere Saite. Dadurch wird der Schall auf den Resonanzkörper übertragen.

Wenn nun zwei Saiten auf demselben Steg gespannt sind, die etwas eine unterschiedliche Grundschwingung haben, nimmt die, die etwas voraus ist den Steg mit und die zweite Saite wird am Ende passiv hinterhergezogen, so daß ein Knoten weiter innen dicht am Ende der Saite entsteht. Die Saite mit der niedrigeren Grundfrequenz klingt deshalb etwas höher als ihrer Länge entspricht, so daß beide Saiten gleich hoch klingen, wenn der Unterschied gering genug ist.

 
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2.2 Fortsetzung: Blasinstrumente - eine longitudinale Schwingungen

VB201.2.2 Kersti: Blasinstrumente - eine longitudinale Schwingungen
Die Quellen befinden sich am Hauptartikel und müssen bei Weiterverwendung des Textes wegen der Bildrechte ebenfalls in der weiterverwendeten Variante vorhanden sein.
VB201. Kersti: Quellen

Ein Text von Kersti Nebelsiek, Alte Wilhelmshäuser Str. 5, 34376 Immenhausen - Holzhausen, Tel.: 05673/1615, https://www.kersti.de/, Kersti_@gmx.de
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